2024年諾貝爾經濟學獎授予達龍·阿杰姆奧盧、西蒙·約翰遜和詹姆斯·魯濱遜，以表彰他們在關于制度如何形成並影響經濟繁榮研究領域的突出貢獻。
《政治發展的經濟分析：專制和民主的經濟起源》是兩位的代表作。《政治發展的經濟分析：專制和民主的經濟起源》的主要貢獻是提供一種理解民主的創立和鞏固的統一框架。特別是，這一框架強調爲什麽政治制度變革與在非民主政體背景下的政策讓步有根本性的不同。
第四章 ：民主政治
4.1--- 引言 :
在這一章，我們開始分析使民主得以建立的因素。正如在第二章討論的那樣，我們的方法以關于政治制度的沖突，特別是民主與非民主之間的沖突爲基礎。這一沖突來自這些體制導致的不同結果。
換句話說，不同的政治制度導致不同的結果，産生不同的輸家和贏家。認識到這些後果，各種團體對這些政治制度就有了各自的偏好。
因此，我們對民主爲什麽出現以及什麽時候出現的分析的第一步就是建立在民主和非民主中集體決策的模型。關于民主中的集體決策的文獻有很多(關于在非民主中集體決策的文獻則較少)。
我們的目的不是評論這一文獻，而是強調關于個人偏好和各種分配沖突如何反映在經濟和社會政策上這一問題的要點。我們從民主中的集體決策開始，在第五章轉向非民主政治。
民主的最基本的特征是，所有人(超過一定年齡)都能投票，並且投票影響哪些社會決策和政策被采納。在直接民主中，民衆直接對政策投票。在代議制民主中，選民選擇政府，然後由政府決定執行哪些政策。
在最基本的民主模型中，希望執政的政黨企圖通過給選民提供政策綱領來當選。它也許是一項稅收政策，但也可能是任何其他類型的經濟或社會政策。
然後選民們選舉政黨，從而間接地選擇政策。在選民的偏好和政黨的政策綱領之間的相互作用決定在民主中實行什麽政策。一黨贏得選舉並實施它所承諾的政策。
我們在本書大部分章節中采納的這種分析方法，基于一組經濟學和政治學方面的重要研究，特別是霍特林(Hotelling,1929)、布萊克(Black,1948)和唐斯(Downs,1957)的研究。
毋庸置疑，這樣一種模型忽視了現實世界中民主所具有的重要的制度特征，因此我們的方法僅僅是對現實的粗略近似。政黨們很少對政策做出可信的承諾，不討論個別問題，而是宣傳一個總的政綱。
此外，黨派也許受黨派性的(即意識形態的)偏好和簡單的執政欲望所推動。選民也許對黨派的意識形態也有偏好，就如同對黨派的政策有偏好一樣。
有各種各樣的選舉規則：一些國家按照有多成員選區的比例代表制，另一些使用有單一成員選區的多數主義選舉體系來選舉政治家。這些選舉制度以不同的方式決定選票如何轉化爲席位，從而轉化爲政府。
一些民主有總統，另一些是議會制。經常會有分裂的政府、政策或者由各黨之間關于立法的討價還價決定，或者由總統和議會之間的某種安排決定，而不是由某個黨在選舉中提供的特定的綱領決定。
最後，但仍然非常重要的是，利益集團通過非投票渠道(如遊說，在極端的情況下是腐蝕)對政策施加影響。
這些特征有許多都可以添加到我們的模型中，這些改良的模型常常對一系列問題做出不同的預測。〔1〕然而，我們最初的和主要的意圖不是比較不同類型的民主，而是要理解民主和非民主的主要區別。例如，雖然美國有總統而英國沒有，但不會有人認爲這會影響這兩個國家民主的相對程度。
民主與重大的制度差異是相容的。因此，我們集中考察民主中的集體決策的更簡單模型，突出其共同因素。出于這一目的，我們強調，民主是相對政治平等的狀況。在完全的民主中，每個公民都有一票。更普遍地說，在民主中，多數民衆的偏好在政治成果的決定上起著重要作用。
在非民主中，情況不是這樣，因爲只有極小一部分人才享有政治權利。大體來說，我們把非民主視爲民主的反面：民主接近政治平等狀況，非民主則通常是政治不平等狀況，權力更多地掌握在權貴手中。
牢記這種區分，我們在這一章試圖突出民主政治的一些共同的主題，稍後，我們會回到民主內部的制度差異問題。雖然這一問題並不改變我們論點的基本內容，但因爲它會影響在民主中采取的政策類型，從而既影響對權貴的也影響對民衆的支付，所以它是很重要的。
4.2 ---加總個人偏好
在這一小節中，我們首先探討社會或集體選擇理論所面臨的一些概念和問題，這一理論要解決的問題是：在所有人的偏好都重要的時候，如何把個人的偏好加總爲“社會的偏好”。這些問題很重要，因爲要弄清楚在民主中會發生什麽,什麽時候所有的人都能投票，哪些政策會被采納。
爲了說明我們的觀點，將政府政策設想成一種對收入的比例稅率和某種再分配稅收收益的方式，是有幫助的。一般來說，人們的偏好不同，收入不同，因此對政策——例如，征稅的水平、再分配、公共物品供應———有不同的偏好。然而，即使人們的偏好和收入完全相同，仍然會存在關于政府政策的沖突。
在一個個人都試圖最大化自己的收入的世界裏，每個人都會有一個明確的偏好：對除他們自己以外的所有人的收入，都按一個相對高的稅率征稅，然後把所有的收益都再分配給他們自己!那麽,如何加總這些非常明顯的偏好?我們選擇一個得到了所有稅收的人嗎?還是不會有這種形式的再分配?或者是某種其他結果?
阿羅(Arrow,1951)在其影響重大的關于集體決策的研究中，間接地談到了這些問題。阿羅得出的結論是，在弱的假定下，一個社會在這些情況下可能做出一致選擇的惟一方式是使一個成員成爲專制者，在集體選擇的決定中，只有這一成員的偏好是重要的。
阿羅得出的這一結論令人吃驚，但反思之下，又合情合理。更准確地說，阿羅提出了一個(不)可能性定理，說明即使個人有性狀良好的理性偏好，在一般情況下，也不可能通過對這些偏好進行加總來決定在民主中會發生什麽。
這是因爲，加總個人的理性偏好不一定能得出使社會能夠制定關于做什麽的決策的意義上的理性的社會偏好關系。
阿羅定理是政治學(和經濟學)中的一個十分重要和深刻的結論。它基于政治學的一個重要而又較爲簡單的特征：利益沖突。資源的不同配置以及不同的社會決策和政策産生了輸家和贏家。
形成社會偏好的困難是如何加總不同團體的願望，一些團體偏好一種政策或配置，而另一些團體則偏好另一種政策或配置。
例如，如何加總富人的偏好和窮人的偏好?富人不喜歡高稅收，因爲高稅收造成對其不利的再分配；窮人則喜歡高稅收，因爲再分配對他們有利。
不同團體間的(經常是貧富之間的)利益沖突構成了本書所有結論和討論的基礎。事實上，對民主與非民主進行區分正是關注它們如何使權力的平衡向權貴或民衆，或者富人或窮人傾斜。
然而，阿羅定理並沒有說明加總這些相互沖突的偏好總是不可能的。我們需要更具體地說明個人偏好的性質和社會如何調和利益沖突。我們需要更具體地說明什麽構成了權力，權力如何表示和行使。
當這樣做時，我們會發現我們可以確定社會的選擇，因爲盡管人們的需要各不相同，但不同的個人之間卻有一個決定性的權力平衡。在許多情況中都會出現這樣的平衡，其中最著名的是中位選民定理(MedianVoterTheorem,簡稱MVT)所描述的情況，我們將在下一小節考察這一定理。
爲了更進一步，有必要更具體地說明集體選擇賴以産生的制度。特別是，我們希望把集體選擇問題表示爲一場博弈，它可以有各種類型。例如，在稍後會評價的基本的唐斯模型中，博弈是在兩個政黨之間展開的。
在第五章研究的一個關于專制的模型中，博弈是在一個專制者和被剝奪了公民權的民衆們之間展開的。一旦采取了這一步驟，尋找決定性的社會選擇就等價于尋找有關博弈的納什均衡。
4.3 ---單峰偏好和中位選民定理
4.3.1---單峰偏好
首先，讓我們更具體地說明個人對社會選擇和政策的偏好。在經濟分析中，用效用函數來表示人們的偏好，該效用函數使他們能對各種選擇排序。
我們對這些效用函數加上了一些合理的限制條件；例如，它們通常是遞增的(越多越好),而且它們被假定是凹的——一個包含了遞減的邊際效用概念的假定。
由于希望理解人們的目的是使其效用最大化時會做出哪些選擇，我們通常關心該效用函數的形狀。一個效用函數可能具有的一個重要的性質是：它是“單峰的”。
大致說來，如果個人有一項偏好的政策，那麽,他對一項政策或一種社會選擇的偏好就是單峰的；政策與這個人最偏好的點越遠，不管是在什麽方向上，他就越不喜歡。我們可以更正式地定義單峰偏好。
首先，考慮其後的應用，我們把q定義爲政策選擇；把Q定義爲所有可能的政策選擇的集合，用“>”表示對這一集合的偏好關系(如果這些選擇都是一維的〔如稅率〕,那麽這一偏好關系就是自然的，因爲談論更高或更低的稅率是很簡單的);定義Vi(q)爲個人i的間接效用函數，其中Vi:Q→R。
這是在已知特定政策變量的值的情況下的最大化的效用值。正是這個間接效用函數表達了i的引致偏好。個人i的理想點(有時被稱作“政治至善點”),qi,對所有其他的q∈Q,滿足Vi(q²)≥Vi(q)。單峰偏好可以更正式地定義如下：
假定人們具有單峰偏好是對可容許的偏好集合的一個限制。然而，這一限制並不是真的關于人們對物品或收入固有的偏好或效用函數的形式或性質的限制。
它是關于人們對社會選擇或政策結果(人們對這些選擇投票，如稅率)的引致偏好的陳述；因此，我們便涉及了“間接效用函數”。
爲了得到人們的引致偏好，不僅需要考慮他們與生俱來的偏好，而且還要考慮形成其引致偏好的環境和制度的結構。可以說，這些環境的特點對決定人們的引致偏好是否爲單峰是具有決定意義的。
在本書中，我們經常做出假定，來保證個人的偏好是單峰的。這一限制合理嗎?保證對政策的引致偏好是單峰的，需要對選民能投票的選擇集做重要的限制。
這些限制經常需要采取限制政府能采取的政策類型的形式———特別是，排除那些對所有人征稅再分配給一個人的政策或排除針對具體個人的轉移支付。
假定偏好是單峰的是對奧卡姆剃刀的再次應用。我們試圖建立關于複雜社會現象的簡約模型，通過集中考察中位選民定理或類似定理成立的狀況，我們做出這樣一種假定：在現實中，民主決策過程確實會導致支持或反對各種政策或選擇的一致多數。這似乎是一個相當合理的前提。
大量的政治學和政治經濟學文獻都集中于這種單峰偏好。這是因爲單峰偏好生成了著名的和有力的中位選民定理，該定理指出了由個人偏好集合決定均衡政策的簡單方式。
在本書中，我們或者采用假定單峰偏好的做法，使用中位選民定理；或者只集中于一個由少數不同團體(如窮人和富人)構成的政體，在這裏很容易決定社會選擇(參見4.2小節)。
這是因爲我們的焦點不是在不存在非單峰偏好的情況下能夠加總偏好的特定的民主制度，而是關于民主政治的一些一般性結論。
4.3.2 ---中位選民定理
現在轉向對由布萊克(Black,1948)首創的中位選民定理的分析。我們可以用對偏好的限制來說明個人偏好是能夠加總爲一個社會選擇。
中位選民定理告訴我們，這樣一種選擇不僅存在著，而且，在一種有單峰偏好的情況下，多數人投票的結果將是“中位選民”的理想點。
首先，用議程開放的直接民主的簡單模型進行分析。在直接民主中，個人直接對選擇對(某一q,q∈Q)投票；得到票數最多的選擇勝出。當存在開放議程時，任何人都能發起新一輪對成對選擇的投票，提出可與前面的勝出者一較短長的選擇。
命題4.1(中位選民定理):考慮一個政策選擇的集合Q∈R,令q∈Q爲一項政策，並用M表示中位選民，qM爲中位選民的理想點。
如果所有人都有對Q的單峰偏好，則(1)在對成對選擇的投票中，qM總是會戰勝其他任何選擇q'∈Q,其中，q′≠qM;(2)qM是在一個議程開放的直接民主中的勝出者。
爲了明白命題背後的根據，不妨設想人們在qM和某項政策q>qM之間進行投票。因爲偏好是單峰的，所以所有理想點小于qM的人都嚴格地偏好qM而不是q。
這是因爲當我們遠離個人的理想點時，間接效用函數單調下降。在這種情況下，因爲中位選民選擇qM而不是q,他就會與理想點小于qM的所有人站在一起，構成多數，所以在對成對選擇的投票中，qM擊敗q。這一論據很容易被用于表明任一q
爲什麽這一點會起作用?在民衆具有單峰偏好且集體選擇是單向度時，盡管個人偏好不同，但還是會出現一個確定的集體選擇。
直觀地說，這是因爲人們能被分成那些想要更多的q的和更少的q的兩部分，中位選民恰好介于兩者之間。偏好之所以能被加總爲一個決策，是因爲偏好小于qM的q值的人與偏好大于qM的q值的人沒有共同之處。
因此，偏好低水平q的人不會與偏好高水平q的人聯合起來，形成另一個多數。阻礙確定性的一般社會選擇出現的正是這些“外圍的”多數，但在單峰偏好的情況下，他們是不可能形成的。
因此，中位選民定理對在偏好是單峰的，社會是有開放議程的直接民主的情況下，哪些政策會勝出作出了精確的預測。
在此，把支持命題4.1的模型看成一個擴展形式的博弈是很有用的。在這樣一個博弈中，有三個要素(OsborneandRubinstein,1994,pp.89—90):(1)參與者的集合——在此是n個人；(2)對博弈樹的描述。
博弈樹決定著哪一個參與者行動，何時行動以及在參與者不得不作出選擇的時候，在樹的每一個節點上，他們可以采取哪些行動。(3)在此處由Vi(q)表示的個人偏好。
(在博弈論中，偏好和效用函數經常被稱作支付和支付函數，我們交替使用這些術語)。一個策略就是當一個參與者不得不作出選擇時，決定在每一個節點上采取什麽行動的函數，參與者選擇策略使支付函數取得最大值。
〔1〕在這裏，策略就是如何對不同的成對選擇投票。對這一博弈的基本解概念就是一個納什均衡，這是一個與每一個參與人對應，使任一參與人都不能通過單方面改變策略來提高其支付的n種策略的集合。
換句話說，各參與者的策略必須是相互之間的最佳反應。我們還廣泛使用了一個納什均衡的精煉——子博弈完美納什均衡的概念——其參與人的策略必須不僅在整個博弈中，而且在每一個恰當的子博弈中，都是相互之間的最佳反應。(第五章會討論這兩個概念之間的關系)。
然而，與現在討論的模型相比，開放議程的假定使得我們很難細致地寫下這一博弈。爲了做到這一點，必須更加明確地說明誰能夠提出什麽選擇和他們何時以及如何做出決策。
4.3.3---唐斯的政黨競爭和政策趨同
前面的例子是以直接民主爲基礎的，這是一種人們能對政策直接投票的制度背景。在實踐中，大多數民主社會都可以更好地用代議制民主近似，在此種民主之下，人們在選舉中對政黨投票，然後由選舉的勝出者實施政策。中位選民定理對政黨的政綱意味著什麽?
爲了回答這個問題，設想一個有兩個政黨通過提供一維的政策在選舉中競爭的社會。人們對政黨投票，得勝的一方承諾的政策得以實施。兩黨只關心上台。
這基本上是唐斯(Downs,1957)在其影響重大的研究中考慮的模型，盡管他的觀點在很大程度上已由霍特林(Hotelling,1929)預見到了。
選民們將如何投票?他們期望不管哪個黨上台，都將落實他們承諾的政策。所以，想象一種情形，其中有兩個政黨A和B提供兩項可供選擇的政策(如稅率)qA∈Q和qp∈Q——在他們已經分別對實施稅率qA和qb作出了可信承諾的意義上。
令P(qA,qB)爲兩黨提供政策綱領(qA,qB)時，A黨贏得權力的概率，自然，B黨獲勝的概率就是1-P(qA,qB)。現在，我們可以爲兩黨引進一個簡單的目標函數：每個黨上台時得到的租金或收益R>0,反之爲0。
兩黨不關心除上台以外的任何事情。更正式地說，政黨選擇政策綱領以解決下面的一對最大化問題：
(4.1)
如果人口中的多數人偏愛qA而不是qB,那麽,他們會投票支持A黨，我們就會有P(qA,qB)=1。如果他們偏愛qB而不是qA,那我們就會有P(qA,qB)=0。
最後，如果偏愛兩種政策的選民人數相同，那麽,我們可以認爲任一方以1/2的可能性當選，所以P(qA,qB)=1/2(盡管在這種情形中P(qA,qB)的准確數值對模型預測的結果並不重要)。
因爲偏好是單峰的，從命題4.1中我們知道，選民中的多數人偏愛稅率qA還是qs取決于中位選民的偏好。更具體地說，再次用標在右上角的M來表示中間選民；于是，命題4.1立即就意味著，如果VM(qA)>VM(q⁸),多數人支持A黨。當VM(qA)
(4.2)
我們提出的這一模型可以作爲一個博弈，用比前面小節中直接民主的模型更明確的方式分析。這場博弈包括如下三個階段：
1.兩個政黨非合作地選擇他們的綱領(qA,qB)。
2.人們投票支持他們偏愛的政黨。
3.在選舉中獲勝的政黨上台執政，實施它在第一階段許諾的政策。
在這一博弈中，有n+2個參與者：n個公民，其支付函數是Vi(q);2個政黨，其支付函數由(4.1)式給出。選民不提出政策綱領，兩個政黨在第一階段同時提出政策綱領。政黨必須選擇一個行動q;∈Q,j=A,B。
選民必須投票。因此，在這個模型中，一個子博弈完美納什均衡將是一個n+2種策略的集合，與每個政黨、每個選民一一對應，它決定政黨提供哪些政策以及個人如何投票。
如果這樣一個策略集合構成了一個均衡，它就會有這樣的性質，即沒有任何一個政黨和選民能通過改變其策略(例如，政黨提供不同的政策或民衆投不同的票)來提高自己的支付。
然而，在我們目前的模型中，能夠簡化對一個子博弈完美納什均衡的描述，因爲，給定一個政策向量(qA,qp)∈Q×Q,選民們只是投票支持提供與他們的理想點最爲接近的政策的政黨，並且，因爲偏好是單峰的，中位選民定理意味著這樣一次選舉的勝出者由(4.2)式決定。
因此，惟一引人注目的策略性相互作用只發生在政黨之間。更正式地說，可以用反向歸納法來解這個博弈。爲此，從博弈的結尾開始，反向操作。政黨是忠于綱領的，所以不管哪個黨勝出，都會落實在選舉中提供的政策。然後，(4.2)式決定哪個黨勝出，在博弈的最初階段考慮這一點，政黨選擇政策使(4.1)式最大化。
這意味著這一博弈中的一個子博弈完美納什均衡可以簡化爲一對政策(qA,qB),B黨的均衡選擇既定時，qA使P(qA,qB)R最大化；同時，在A黨的均衡選擇既定時，qö使1-P(qA,qB)R最大化。在這種情況下，兩個政黨都不能通過選擇另一種政策(或用博弈論的語言，通過“偏離”)來提高它的支付。
更正式地說，下面的定理描述了這一博弈的惟一子博弈完美納什均衡的特性：
命題4.2(唐斯政策趨同定理):考慮一個政策選擇向量(qA,qB)∈Q×Q,其中QCR兩個政黨A和B只關心上台執政，並能忠于政策綱領。設M爲中位選民，其理想點爲qM。如果所有人對Q都有單峰的偏好，那麽在唯一的子博弈完美納什均衡中，兩個政黨都將選擇政策綱領qA=qs=qM。
換一種方式說，兩個政黨都趨向于提供恰是中位選民理想點的政策。爲了理解爲什麽會出現這種政策趨同，設想這樣一種情況，其中兩個政黨提供的政策爲qA和qB,qA
峰的這一條件，我們有VM(qA)qB≥qM等情況。
接下來，考慮一個qA=qBqM或qA
如前所述，中位選民定理不僅要求人們的偏好是單峰的這一規定，我們還要求政策空間必須是一維的。在命題4.1的條件下，我們指出，政策必須位于一個實數的子集(QCR)內。這是因爲，盡管單峰偏好的思想會自然而然地推廣至更高維數的政策，但中位選民定理卻不能如此推廣。
然而，如果我們仍有各種各樣的辦法建立關于集體選擇是多維的情況的模型。第一，盡管有阿羅定理，但在中位選民定理中所看到的相互沖突的利益集團之間的權力的均衡，也可能在更高維數的情形中出現。
一般來說，要讓這種情況出現，不僅需要規定偏好是單峰的，還需要選民的理想點以特定的方式分布。這類的重要定理是普洛特(Plott,1967)與麥凱爾維和斯科菲爾德(MckelveyandSchofield,1987)的成果(更詳細的分析，參見Austen-SmithandBanks,1999,Chapter5)。
此外，還有與推廣至多維政策空間的單峰偏好相關的一些思想，特別是限值偏好思想(例如，Grandmont,1978)。這類限制使得某種出現于中位選民定理中的“權力平衡”有可能在一個多維政策空間中存在。
第二，一旦我們把不確定性納入模型，均衡經常存在，即使政策空間是多維的。這就是本章附錄要分析的所謂概率投票模型(LindbeckandWeibull,1987;Coughlin,1992;DixitandLondregan,1996,1998)。
第三，依據奧斯本和斯利文斯基(OsboureandSlivinski,1996)與貝斯利和科特(BesleyandCoate,1997),一旦假定政治家不能承諾政策，我們就能確立多維政策情況下均衡的存在性。直觀地說，當政治家不能承諾隨意的政策以集結多數人的支持時，許多串通的可能性便被排除了。
我們稱本小節中的這種政治競爭爲唐斯政治競爭。本小節的關鍵結論命題4.2,來自這種競爭包含的兩個重要的含義：(1)政策趨同也就是說，兩個政黨選擇同樣的政策綱領；(2)這一政策綱領與中位選民最偏好的政策一致。
如在附錄中說明的那樣，在非唐斯的政治競爭模型中例如在有意識形態的選民或意識形態的政黨的情況下仍存在許多政策趨同，但這些趨同不一定是中間選民最偏好的政策。也可能存在非趨同，其中均衡政策部分地由政黨的偏好決定。
4.4 ---我們的基本模型
在這一節，我們介紹一些在全書中都使用的基本模型。正如已經說明的那樣，關于民主和民主化的理論是以政治的和分配的沖突爲基礎的，而且，爲了突出重要的互動，我們使用純粹再分配的模型，其中比例稅的收益一次性再分配給民衆。
此外，主要的沖突是在那些從再分配中受損的人和那些從再分配中受益的人——兩個經常被我們稱爲富人和窮人的團體之間。
因此，一個僅由富人和窮人組成的兩階級模型是一個自然而然的出發點。我們在接下來的三小節中討論這個模型。兩階級模型的另一個優點是某種與中位選民定理類似的東西將會成立，即使政策空間是多維的。
這是因爲窮人占多數，而且限定政策空間，排除窮人內部的沖突。因此，窮人的任一子集都不會認爲與富人結成“外圍的”聯盟會有好處。在這種情況下，窮人偏好的政策會擊敗富人偏愛的政策。
在第八章，通過引進另一個團體——中産階級，擴展這一模型，並說明它如何改變該模型做出的一系列預測，包括不平等和再分配之間的關系。
除了政治沖突發生在富人和窮人之間的模型之外，還要考察當沖突以其他政治身份爲基礎時會發生什麽。我們會在第4.4.4節介紹這樣一種模型。
4.4.1---再分配政治的中位選民模型
我們設想一個由n(n爲奇數)個選民構成的社會[我們提出的模型以羅默(Romer,1975)、羅伯特(Roberts,1977)、梅爾澤和理查德(MeltzerandRichard,1981)開創性的論文爲基礎]。
個人i=1,2,……,n所得收入爲yi。將人們按照從最窮到最富的順序來排列，並將中位人視爲具有中位收入的人，用yM表示中位收入。由于按照收入爲人們排序，有中位收入的人就恰是第M個人，M=(n+1)/2。用y表示這個社會的平均收入；有，
(4.3)
政治體系決定一個與收入成比例的非負的稅率t≥0,其收益一次性地再分配給所有的民衆。並且，該稅率的上界必須爲100%也就是說，t≤1。令因此發生的一次性轉移支付爲T。
我們還假定增稅是有成本的，所以引入一個與稅率相關的總的淨稅收成本。稅越多，成本越高。經濟學家阿瑟·奧肯(ArthurOkun,1975)用“漏桶”來做比喻。
當收入或資産從某人那裏拿走時，因爲它們被轉移到別人手中，有一部分耗散掉了，就像水從一個桶的漏洞漏掉一樣。在這一意義上，再分配收入或資産就是一個漏桶。這種漏損來自管理稅收和建立官僚機構的成本，也可能是因爲腐敗和純粹的不稱職。
然而，更重要的是，更高的稅收也扭曲資産持有者的投資和勞動供給的動力，並在生産過程中也造成扭曲。由于這些原因，構成民主中的多數人的民衆，通過權衡來自再分配的收益和來自扭曲的成本(即桶的漏洞),來決定稅收和再分配的水平。
經濟學家經常用“拉弗曲線”———稅率和稅收數量之間的關系來討論這些扭曲。拉弗曲線的形狀就像一個顛倒的U形。在稅率低的時候，提高稅率會增加稅收。然而，隨著稅率的提高，扭曲越來越嚴重，最終稅收達到一個最大值。在這一點之後，提高稅率實際上會導致稅收的減少，因爲稅收造成的扭曲過于嚴重了。
在模型中，用一個進入政府預算約束的總量成本描述這些扭曲，當稅率爲t時，這一成本爲C(r)ny。經濟的總收入ny,只是作爲一種標准化被包括在內。
我們采用這一標准化，是因爲不希望均衡稅率以一種隨意的方式受經濟規模的影響。例如，如果改變ny,我們不希望均衡稅率僅僅因爲稅收成本不變，而稅收給選民帶來的收益增加而提高。
隨著ny的增加，征稅的成本也可能上升(例如，審計人員的工資上漲),標准化考慮到了這一點。我們假定C:[0,1]→R+,其中C(0)=0,因此在不征稅的時候，沒有成本；C'(·)>0,成本對稅收水平遞增；C'(·)>0,這些成本是嚴格凸的就是說，隨著稅率的增長，它們更快地增長(因此保證最大化問題的二階條件得以滿足) ;
最後，假定C'(0)=0且C'(1)=0,以保證一個內解：前者表示在稅率低的時候，邊際成本很小；後者意味著在稅收水平很高時，成本迅速增加。
加上凸性的假設，這兩個假定都是可以接受的：他們強調在稅率變得很高的時候，稅收削弱動力的作用就變得很大。例如，可以想象一下，在對你的收入的稅率是100%時，你工作和生産的動機會怎樣。
由此，我們可以得出政府的預算約束如下：
(4.4)
它使用了上面(4.3)式中的平均收入定義。該等式強調，因爲有比例所得稅和等量的收益再分配，所以，稅率越高，再分配程度越高。例如，一個更高的t增加了一次性的轉移支付，因爲富人和窮人得到等量的轉移支付，但是納稅卻與其收入成比例，所以更富的人承擔更大的稅收負擔。
這個社會裏的所有人都要使他們的消費最大化，消費等于他們的稅後收入。在稅率爲t時，我們用yi(t)來表示個人i的稅後收入。利用政府預算約束(4.4)式，在稅率爲t時，個人i的間接效用及其稅後收入是
(4.5)
這個間接效用函數僅受一個政策變量t影響，因爲用(4.4)式消去了一次性的轉移支付T。我們還令它受yi的影響，因爲對本書余下的部分，明確寫出這一收入是有幫助的。因此，使用符號V(yi|t)而不是Vi(t)。
更一般地說，個人也要做出由政策變量決定的經濟選擇。在這種情況下，爲了構造V(y³|t),我們首先需要在政策變量的值既定的情況下，解出個人i的最優經濟決策，然後在這些最優選擇既定的情況下，定義對政策的引致偏好(PerssonandTabellini,pp.19—21)。
從這一間接效用函數得出個人i的理想稅率是簡單直接的。我們在前面將這一稅率定義爲使V(y³|t)取最大值的稅率t。在前面作出的關于C(t)的假定下，V(y²|t)是嚴格凹的並兩次連續可導。于是，這一稅率能簡單地從一個無約束的最大化問題中找到，所以我們需要令V(y|t)對t的導數爲0。換而言之，ti需要滿足如下的一階條件：
（4.6）
在此，我們明確強調了互補松弛性(即v可以是角點解)。在本書余下的部分，只要不會引起混亂，我們將不再完整地寫出這一條件。
C(·)>0的假定保證了最大化的二階條件的滿足，並且(4.6)式給出了一個最大值。更明確地說，這一二階條件(通過將(4.6)式對t求導得出)是一C'(r)y<0,給定C(·)>0,這一條件總是成立的。
這一二階條件還意味著V(y³|t)是一個嚴格凹的函數，這是它爲單峰的充分條件。
我們用庫恩一塔克的形式(BlumeandSimon,1994,pp.439—441)寫出了一階條件(4.6)式，考慮了行動者i偏愛的稅率可能爲0的事實。在這種情況下，有一個角點解，一階條件不能作爲等式成立。
如果t³>0,那麽(4.6)表示選民i的理想稅率具有這樣的特性，即它對個人i的邊際成本等于它對個人i的邊際收益。邊際成本是用個人i的自有收入yi來衡量的，因爲稅率的遞增會導致個人i與其收入(消費)成比例的效用的減少。
另一方面，收益是(1-(1-C(z))y,它來自稅收更高，就會有更多的收入再分配的事實。(1-C(³))y這一項是扣除成本的額外的收入再分配，是由稅率小幅度的上升形成的。
(4.6)式中的條件暗示著這一直觀的結果：富人比窮人偏愛更低的稅率和更少的再分配。對一個富人來說，yi/y的比率要比窮人更高。這意味著要使(4.6)式成立，1-C'(r)必須更高，所以C(r³)必須更低。因爲C(zi)是一個增函數[據C(·)的凸性],這意味著被偏好的稅率一定更低。
這一模型實際上包含了一個更具體的預測。對一個收入與平均收入相等的人，(4.6)式變爲0=—C(r),這意味著，對這樣一個人，t³=0。並且，庫恩一塔克條件意味著，對任何收入y³>y的人，存在一個角點解。因此，收入超過平均收入的人不贊同任何收入再分配，而收入y³
爲了更正式地得到這些比較靜力學結果，假定r>0,並利用隱函數定理(BlumeandSimon,1994,p.341)把個人i的最優稅率寫成其自有收入的函數t(y³)。這一函數滿足(4.6)式。根據隱函數定理，這一函數的導數用t'(y²)表示，是存在的，且由下式給出：
在本書全書中，我們常常要利用隱函數定理，對研究的模型進行比較靜力學分析。我們進行兩種比較靜力學分析。第一種是剛剛分析過的。
在此，我們用均衡條件將一個特定的內生變量(例如，稅率)表示爲模型的各種外生變量或參數(例如，不平等的程度)的函數。
然後，比較靜力學分析就等同于研究如不平等這樣的外生變量或參數的變化對內生變量數值的影響。(在不平等程度更高時，稅率會上升嗎?)
我們用這種問題的答案不僅得出對一國內一旦不平等加劇會發生什麽的預測，還對不同的國家進行比較：一個不平等程度更高的國家的稅率會比不平等程度更低國家的稅率高嗎?
我們也進行一種不同類型的比較靜力學分析。在博弈論的模型中，各種行爲可能在不同類型的情況下都是均衡。例如，在重複的囚徒困境中，如果參與人足夠重視未來，那麽永遠合作可能是均衡。我們導出特定類型的行爲例如，民主的創建是一個均衡的條件。
然後我們對這些條件進行比較靜力學分析，研究哪些因素使民主有更大的可能或更小的可能建立。然而，當我們這樣做時，我們並不是直接研究一個外生變量的變化如何(平穩地)改變一個內生變量的均衡值。
相反，我們考察外生變量的變化如何影響民主爲之創立的“參數空間的規模”。基本上，民主只能在特定的場合下才會建立，我們希望了解是什麽使得這樣的場合更加可能。
現在我們可以設想一個博弈，其(納什)均衡將決定再分配稅收的水平。我們可以在直接民主或代議制民主背景下這樣做，但是最直觀的方法是我們提出的導出命題4.2的方法。這一結果意味著，這一博弈的均衡將是兩個政黨提出中位選民的理想點，這個理想點將是在一個民主中選擇的稅率。
這一模型作出了這一預測，盡管有存在政治沖突這一事實。窮人喜歡高稅收和大量的再分配；富人，即那些收入高于平均收入的人，則反對任何再分配。我們如何加總這些相互沖突的偏好?中位選民定理說結果是中位選民偏好的稅率，而且對大多數的收入分配來說，中間位置的人的收入要低于平均收入(也就是說，yM
這一條件的比較靜力學來自對(4.6)式的討論。如果yM相對于y減少，那麽,相對于平均收入，中位選民變得更窮了，會偏好更高的稅率和更多的再分配。
4.4.2---一個兩團體的再分配政治模型
盡管本書中許多的結果都來自前面的模型，在這一模型中每個人的收入都不相同，但一個有用的更簡單的模型是僅有兩種收入水平的模型。因此，考慮一個由兩種人組成的社會：富人有固定收入y,窮人收入y⁰
爲了簡單起見，將總人口標准化爲1;分數爲1—δ>1/2的行動者是窮人，其收入爲y;余下的分數δ是收入爲yr的富人。用y表示平均收入。我們的焦點是分配沖突，因此，把不平等參數化是很重要的。爲了做到這一點，引入符號作爲富人的收入在總收入中所占比重；于是，我們有：
(4.7)
注意θ的增加代表著不平等的加劇。當然，需要y
與在上一小節中一樣，政治體系決定了一個非負的所得稅稅率t>0,其收益一次性地再分配給所有民衆。假定稅收成本同前面一樣，由此得出的政府預算約束爲：
(4.8)
由于符號稍稍多了點，我們現在用上標i表示社會階級和個人，所以，對多數的討論，我們有i=p或r。利用政府預算約束(4.8)式，在稅率爲t時，我們有個人i的間接效用及其稅後收入：
(4.9)
如同在上一小節中一樣，所有行動者都具有單峰偏好，因爲行動者中窮人比富人多，所以，中位選民是個窮人。如同在上一小節中一樣，我們可以把這一模型視爲一個博弈；然後，民主政治將導致最受中位選民在此是一個窮人——偏好的稅率。
注意：因爲所有的窮人都有相同的效用函數，也因爲對稅收政策形式的限制(即稅收和轉移支付不是因人而異的),所以，他們有相同的理想點，都支持相同的政策。在這裏，不存在協調的必要，也不存在任何一種集體行動問題(我們將在第五章討論這一問題)。
設這一均衡稅率爲t。我們可以通過最大化一個窮人的稅後收入，也就是說，通過選擇使V(y²|t)最大化的t,找出這一均衡稅率。現在，使這一間接效用最大化的一階條件給出下式：
(4.11)
因爲y²>y。因此，方程(4.10)間接地定義了一個窮人最偏好的稅率和政治均衡的稅率。出于與前面小節中同樣的原因，偏好顯然是單峰的。
現在，用(4.7)式中的定義，我們能將這一方程改寫成關于t的更方便的形式：
(4.11)
(4.11)式兩端都是正的，因爲據窮人的收入比富人少這一事實，可知θ>δ。
方程(4.11)對比較靜力學是很有用的。更重要的是，假設θ增加，那麽窮人的收入份額會更小，或者說，貧富差距會拉大。因爲θ的符號爲正，所以(4.11)式的左端會增大。
因此，要使(4.11)式成立，必須改變t,使等式右端也增大。因爲C"(·)>0,所以當增加時，其導數也增加；因此，爲了右端的增大，t必須增大。這意味著更嚴重的不平等(更高的θ)會導致更高的稅率，或者，在數學上利用隱函數定理，有：
當不平等加劇時，作爲國民收入的一部分的總(淨)稅收也增加。總的淨稅收收入與國民收入的比率爲：
注意d(t—C(t))/dθ=(1-C′(t))·dtP/d0。我們知道更高程度的不平等會導致更高的稅率；也就是說，dr²/d0>0。此外，(4.11)意味著C'(t)=(θ—8)/(1—δ)<1,所以1-C(rP)>0。
因此，d(z-C(r))/d0>0。換而言之，更高程度的不平等會導致更高的淨稅收與國民收入的比率，正如梅爾澤和理查德(MeltzerandRichard,1981)用一個稍有不同的模型所論證的那樣。
事實上，顯而易見的是，在不平等程度更高時，即使稅率沒有變化，富人的稅收負擔也會更重。讓我們首先把稅收負擔定義爲在某一稅率τ上從富人向窮人的淨再分配，即：
隨著不平等的加劇(即θ的增大),該稅負也加重，這直接反映了這一事實，即在平均收入爲常量的情況下，轉移支付也爲常量；隨著不平等的加劇，更大一部分稅收征收自富人。這一觀察意味著，即使稅率不變，這一負擔也加重，因此，在不平等嚴重時，富人通常更加反對稅收。
最後，在結束本小節前，簡單討論一下效率是有益處的。在這一模型中，稅收是純粹再分配性的，並造成函數C(r)所描述的扭曲成本。
民主是否有效率取決于人們用以評判的標准。如果我們采用帕累托標准(Green,Mas-Colell,andWhinston,1995,p.313),那麽政治均衡配置將是帕累托最優的，因爲不可能改變稅收政策使任何個人的狀況更好而不使中位選民的情況更壞——因爲民主下的稅率使中位選民的效用最大化，任何其他稅率都必定會降低他的效用。
然而，在許多情況下，帕累托標准可能是不令人滿意的，因爲它意味著許多可能的狀況都不能從效率的角度區分出來。
另一種方法是提出一個更強的社會福利定義，例如，功利主義的社會福利函數，並考察政治均衡是否與最大化這一函數的配置一致(Green,Mas-Colell,andWhinston,1995,pp.825—831)。
在此，與功利主義的社會最優(它不包含任何稅收)相比，民主的政治均衡是無效率的。稅收創造扭曲成本是我們在本書中討論的大多數模型的一個特點。在某種意義上，這是有道理的，因爲稅收造成了削弱動力的效果，扭曲資源配置。
稅收的收入再分配傾向及其可能的扭曲也許意味著：相對于將政治權力配置給富人(他們將選擇較少的再分配)的政體，民主是無效率的。然而，一般說來，也有言之成理的理由說明更大量的再分配可以改善資源配置。
首先，如果我們允許人們從用稅收供給的公共物品獲得效用，在中位選民模型，標准結果就是富人偏好過少的公共物品，而窮人則偏好過多的公共物品(PerssonandTabellini,2000)。
在這種情況下，由收入分配的形態決定，窮人偏好的水平也許更接近社會最優，民主，通過把政治權力賦予窮人，將改進公共物品提供的社會效率。
第二，盡管在本書中我們沒有考慮這樣的模型，但可以設想這樣一種情形，其中行動者對人力資本進行了投資，並且窮人受信用約束，投資不足，低于最優數量。
然後，再分配性的稅收——即使沒有公共物品的提供——通過增加窮人的稅後收入也許有助于增加人力資本投資，改善資源配置(GalorandZeira,1993;Benabou,2000;AcemogluandRobinson,2000a,2002)。
並且，如我們稍後要說明的那樣，即使在民主中增加了稅收，民主實際上也可以比非民主更有效率。這是因爲，非民主也許會將資源配置于社會性的浪費活動，例如爲保持政權而進行的鎮壓，而稅收的成本也許比鎮壓的成本要小得多。
4.4.3---有針對性的轉移支付
到目前爲止，我們分析的再分配政治的模型對財政政策的形式施加了許多限制。例如，所有的行動者都得到等量的再分配。
正如我們在前面所表明的那樣，允許完全隨意的再分配形式會迅速導致集體選擇不確定的狀況。然而，采用形式更爲複雜的不損失社會選擇確定性的再分配是可能的，而且對具有不同稅收結構的經濟進行比較會得出耐人尋味的結果。
與此最爲相關的是對兩團體模型進行推廣，考慮有針對性的轉移支付———也就是說，對富人和窮人的不同水平的轉移支付。更確切地說，在稅收已經征收之後，它們也許會被以一次性轉移的形式Tr或Tp再分配，前者表示只向富人轉移，後者表示只向窮人轉移。這意味著現在政府的預算約束是：
(4.12)
一般來說，一個窮人的間接效用是：
這一問題包含一個三維政策空間，因爲投票將針對稅率t和兩個轉移支付T,和Tr,但在這些變量中，有一個可由政府預算約束決定。這就是我們僅用其中兩個變量決定間接效用函數V(y²|t,Tp)的原因，T,由(4.12)式決定。
因爲政策空間現在是二維的，所以中位選民定理不再適用了。然而，集體選擇仍是確定性的，均衡政策將是窮人偏好的政策。
窮人人數更多，並且都偏好同一政策，因爲有針對性的轉移支付，如一次性的轉移支付，不允許富人和一小部分的窮人串通以推翻由窮人形成的多數。
爲了描述均衡的特征，我們可以仍將這個模型視作一個博弈，其中有兩個政黨提出政策綱領。惟一的的納什均衡是兩個政黨都提供窮人的理想點。
爲了說明這個理想點是什麽,注意一個窮人是顯然不會希望把收入再分配給富人的；因此T,=0。因此，直觀的結果是，窮人選擇t使如下間接效用最大化：
其一階條件，y(1-8)=(1-C'(rT))y給出了(rPT,TβT)的理想點，其中t>0。這裏，我們用上標T表示t是在允許有針對性的轉移支付時一個窮人偏好的稅率。同理，TF和T?”是一個窮人偏好的轉移支付水平。代換ye,可以看出t滿足等式：
(4.13)
這個分析的第一個重要含義是：在民主中，帶有有針對性轉移支付的均衡稅率t要大于(4.11)式給出的不帶有有針對性轉移支付的稅率t。在數學上，這一點來自θ>(0—δ)/(1—δ)的事實。
關于這一點的直觀原因也是簡單的：在沒有有針對性的轉移支付的情況下，因爲再分配既由窮人獲得也由富人獲得，所以對于窮人來說，每一美元稅收創造的淨收益要比在存在有針對性轉移支付的時候低。
當8→0時，即人口中富人那一部分變得可以忽略不計的時候，tP趨近于t。這是很自然的：在這種情況下，富人的人數很少，使得他們是否得到一些轉移支付變得無關緊要。
比稅率的比較更爲重要的是對tP的比較靜力學。可以看出，它與沒有有針對性轉移支付的模型得出的結果是相同的。特別是更爲嚴重的不平等同樣會提高稅率。
考察在這個模型中權貴承受的稅負是有啓發性的，這一稅負現在爲：
顯然，BT(t)>B(t),其中B(t)是由前面小節定義的沒有有針對性的轉移支付的稅收負擔。因此，有針對性轉移支付的采用加重了民主中的富人負擔。
這一結果的一個重要的含義是：有針對性的轉移支付加劇了社會沖突的程度。特別是，由于有針對性的轉移支付，民主征更高的稅收，並將收益只再分配給窮人，因此，富人的狀況比在沒有針對性轉移支付的民主中更差。並且，由于相似的原因，非民主現在對窮人來說更糟了。
這是因爲，正如在第二章討論的那樣，我們可以將非民主視爲與富人相聯系的權貴的統治。特別是，如我們現在表明的那樣，在非民主中，當存在有針對性的轉移支付時，富有的權貴偏好規定正數的稅率並將收益再分配給他們自己。
特別是，他們的理想點將是向量(t,T)[T,據(4.12)式得出],其中，t滿足一階條件一y8+(1-C'(t))y=0若t>0或yro+(1-C(t))y<0。
若t=0，與沒有有針對性轉移支付的模型不同，對富人來說，這個一階條件確有一個內點解，t由以下方程隱含地定義：
(4.14)
對某個t¹>0，方程有一個解。因此，采用有針對性的轉移支付使非民主對富人更好，對窮人則更糟。
在存在有針對性的轉移支付的情況下，社會沖突程度的加劇有使不同政體更加不穩定的作用——特別是，使民主的鞏固更加困難。
4.4.4---其他政治身份
在上一小節中，我們讓轉移支付歸于社會的某一子集：窮人或富人。
更一般地說，我們感興趣的是，如果投票不是按照窮富之間的劃分，而是按照種族或另一種在政治上顯著特征的劃分進行的民主的政治均衡會是什麽樣子?很少有分析性的研究試圖理解何時社會經濟階級可以在政治中占有重要位置，而不是其他諸如種族劃分之類的(Romer1998;Austen-SmithandWallerstein,2003)。
我們的目標不是要提出一個普遍模型，而是要說明在其他特征很突出的時候，民主政治是如何運作的，以及這一點如何影響民主均衡的比較靜力學——例如，不平等方面。
在後面各章，我們用這一模型討論，在政治身份不同時，我們關于民主創立及鞏固的理論如何發揮作用。
那麽,考慮一個純收入再分配的模型，其中有窮人和富人，但人們也是兩個也許是以宗教、文化或種族爲基礎的其他兩個團體——我們稱作X和Z——的成員。
因此，X型的成員有些相對較窮，有些相對較富，Z型的人也是如此。爲了用一種簡單的方法描述政治不是窮人對富人的而是X型人對Z型人的想法，我們像前面一樣，假定以稅率t對收入征比例稅，但收益作爲一次轉移支付或者分配給X型人，用Tx表示，或者分配給Z型人，用Tz表示。
假設有δx的X型人，δz的Z型人，其中8x+δz=1。我們也引用符號δ;,i=p,r;j=X,Z表示兩個人口組。我們始終假定δx>1/2,以便讓X型人占多數，令y;是團體j(=X,Z)中i(=p,r)型人的收入。政府的預算約束爲：
其中，平均收入定義爲：
其中，總人口的數量仍爲1。爲了在收入上更爲明確，我們假定X團體得到的收入在總收入中的比重爲1—α,Z團體得到的爲α。因此，8xyx+δxyx=(1—α)y,且δ2oz+δzy=αy。
用下述的方法在兩個群體內部進行收入再分配：8xyx=ax(1—α)y且δxyx=(1—ax)(1—α)y,所以，αx是X群體中富人收入所占的比重。類似地，我們有8zyz=azay和δ202=(1—az)ay。我們假定
計算這四種類型行動者的理想點是很簡單的。X型行動者中的窮人和富人都偏好Tz=0且也許都偏好Tx>0。然而，X團體中的窮人比富人偏好更多的再分配。
爲了理解這一點，注意窮X型人和富X型人偏好的稅率(以Tz=0爲條件),用tr和tx表示，滿足一階條件(考慮互補松弛性):
(4.15)
如前，我們不能先驗地知道解是內點還是角點。這個一階條件對一個富人意味著，在δxyx/y<1的時候，稅率爲正。直觀地說，在這個模型中，再分配並不是從富人到窮人，而是從一種類型的人到另一種類型的人。
因此，甚至富人也能從這種再分配中獲益。如果兩種稅率tx和tx都是內點解，那麽,由(4.15)式可知：tx>tx,所以，X團體中的窮人偏好更高的稅率和更多的再分配。
Z團體的理想點也容易理解。Z團體的所有成員都偏好Tx=0並且，也許偏好Tz>0,但是Z團體中的窮人，與該團體中的富人相比，偏好更高的稅率和更多的再分配。
現在我們構造一個博弈來決定民主中的稅率。如果我們以本章到此爲止的方式構造這個模型，即對所有問題都同時投票，那麽,因爲這個模型包含一個三維政策空間，它也許沒有納什均衡。爲了用一種簡單的方法避免這個問題，我們通過假定對稅率和轉移支付的投票是分次進行的來構造這一博弈。博弈以如下的方式分時：
1.所有公民對要征收的所得稅稅率r投票。
2.給定這一稅率，對用于再分配收入的轉移支付形式Tx和T₂投票。我們用反向歸納法解這一博弈，並說明總是存在唯一的子博弈完美納
什均衡。我們把注意力放在兩種均衡上。第一種均衡爲：當&>1/2,X團體中的窮人形成了絕對多數時，這個模型存在惟一的均衡，這一均衡具有均衡政策爲X團體中窮人偏愛的t的屬性。
第二種均衡爲：當&<1/2,X團體中的窮人沒有構成一個絕對多數時，這個模型存在一個爲一均衡，其屬性是均衡政策爲X團體中富人偏好的tx。
爲了理解這些爲什麽是均衡，我們從考慮第一種情形開始。通過在第二階段反向歸納來解，因爲δx>1/2,顯然，僅對X團體再分配收入的方案(即主張Tx>0和Tz=0)將擊敗對Z團體再分配或同時對X團體和Z團體再分配的方案。
由于X團體占多數這一事實，可以立即看出這是惟一均衡。接下來，倘若僅采用Tx進行再分配，那麽在博弈的第一階段，所有行動者有關于t的單峰偏好。在隨後的Tz=0的情況下，所有Z型人的理想點爲t=0。如上所述，X團體的更窮和更富的成員的理想點分別爲tx和tx。
當8&>1/2時，窮X型人形成一個絕對的多數，因此，中位選民是一個窮X型人。因爲，後來只有Tx被用于再分配收入，中位選民定理成立，而且在博弈第一階段決定的稅率必定是窮X型人的理想稅率t&。因此，在這種情況下，便存在一個惟一的子博弈完美納什均衡，我們表示爲(rx,Tz=0,Tx=(B-C(rx))y)/δx)。
在第二種情況下，窮X型人不占絕對多數，與第一種情形的區別是中位選民現在是一個富X型人。因此，中位選民定理意味著tx將是在第一階段決定的稅率。因此，在這種情況下，存在惟一的子博弈完美納什均衡，我們記爲(tx,Tz=0,Tx=(tx—C(tx))y/ồx)。
這一博弈的均衡並不取決于行動的時序。爲了理解這一點，考慮下述我們顛倒了對政策表決順序的博弈：
1.所有公民對用于再分配收入的轉移支付形式Tx和Tz投票。
2.給定要使用的轉移支付的類型，所有公民對要征收的所得稅稅率t投票。
我們能夠再次發現存在一個惟一的子博弈完美均衡，與前面計算結果完全相同。從博弈的結局開始，在或是Tx或是Tz被選定的情況下，人們對t進行表決。在選擇了Tx的子博弈中，所有行動者同樣有對t的單峰偏好。因此，當&>1/2時，中位選民是一個窮X型人，被選擇的均衡稅率是tx。
當&<1/2時，中位選民是一個富X型人，選擇的均衡稅率爲tx。在選擇了Tz的子博弈中，因爲X型人不從任何再分配中獲益，所有X型人的理想點必定是稅率爲0。由于X型人占多數，在均衡時必然有t=0,而中位選民是個X型人。
現在，退回這一博弈的第一階段，因爲X型人占多數，結果便是收入將僅按照T₂進行再分配。由此，我們看到這一惟一的子博弈完美均衡與我們之前分析過的完全相同。
就我們目前的目的而言，這些均衡最引人注目的特征是關于不平等的比較靜力學。
在兩種均衡中，團體間不平等的加劇，如在保持Z群體內部不平等程度不變，X型人的收入相對于Z型人收入下降的意義上，會導致更高的稅率和更大的再分配。
若保持y不變，Z團體收入份額上升，那麽y.和y,都將下降，不論是窮X型人還是富X型人都將支持更高的稅率。爲理解這一點，我們利用收入的定義並將它們代入(4.15)式：
在此，爲了簡化符號，我們假定這兩個一階條件都有內點解。Z團體收入份額的增長使α增大，從而使成和tx提高；即：
也就是說，α的提高使稅率提高。同理，drx/da>0。
然而，收入分配的這一變化難以轉換爲基尼系數等標准量度。此外，如果出現在團體內再分配的不平等的變化(例如 ：ax上升〔所以，y&下降，yx上升〕),那麽,兩種均衡的比較靜力學將會不同。
在第一種情況下，稅收會增加，而在第二種情況下，稅收則會減少。
在此，暫停一下討論不平等和再分配之間關系的經驗證據是值得的。我們的模型預測，在民主中，團體間不平等的加劇將導致更大程度的團體間再分配。
然而，由于政治身份不總是根據階級劃分形成的，所以它並不意味著不平等的加劇——如通常用基尼系數或用勞動在國民收入中的份額衡量的那樣——將導致更多的被計算的再分配。
經驗文獻表明了這一點，例如，根據阿萊斯納和羅德裏克(AlesinaandRodrik,1994)與佩爾森和泰貝利尼(PerssonandTabellini,1994)的論文，佩羅迪(Perotti,1996)指出，在更不平等的社會中，稅收收入和轉移支付占GDP的比重並不更高。
然而，到目前爲止，對不平等和再分配之間關系的研究仍沒有一個周全的研究計劃。一個明顯的缺陷就是顛倒了因果關系。
盡管瑞典今天是一個平等的國家，但據我們的觀察，這是70年的積極的收入再分配和平均主義政策(例如，在勞動市場方面)的結果。的確，現存的曆史證據表明，在瑞典過去的一百年中，不平等程度已大幅度下降。
還有許多可能被略去了的變量，它們甚至在沒有顛倒因果關系的情況下，也能傾斜不平等和再分配之間的關系。簡單地說，再分配的許多制度的和潛在的文化的決定因素都可能與不平等相關。
例如，與巴西或美國相比，瑞典是個更爲同種的社會，許多學者指出，人口的同種性是決定再分配水平的關鍵因素(Alesina,Glaeser,Sacerdote,2001;AlesinaandGlaeser,2004)。
並且，在過去70年的大部分時間裏，瑞典是由有高度平均主義社會哲學的社會主義者統治的，它也許有更多的“對再分配的偏好”。
4.5--- 民主與政治平等
雖然中位選民定理是本書和許多實證政治經濟學的核心，但自然而然地還有許多其他對民主政治建立模型的理論方法。思考這些理論的一個有用的方法是：它們意味著權力在社會中的不同分配。中位選民模型是最簡單的、也許還是最天真的設置，其中每個人都有一票。在兩團體模型中，數量上占優勢的團體獲勝，民衆得其所好。
然而，如前所述，事實上，有些人的偏好要比其他人“有價值”。這種情形得以發生的途徑有很多。
首先，偏好也許並不僅限于收入，人們或許同樣關心與不同的政黨相聯系的意識形態立場。更少關心意識形態的選民更願意根據不同政黨提供的政策投票。這樣的選民經常被稱作搖擺選民，他們往往對政策更加敏感，結果，政黨爲他們量身訂制政策。
舉一個極端的例子，設想窮人是非常關心意識形態的，偏好支持社會主義政黨，不管該黨提供什麽政策。在這種情況下，政策沒有反映窮人的偏好，因爲右翼黨無論如何都不能說服窮人投他們的票；社會主義黨已經有了窮人的投票，因此可以爲了爭取其他團體，也許是富人的選票，來制定他們的政策。
這些思想來自林德貝克和維布爾(LindbeckandWeibull,1987)、庫格林(Couglin,1992)、迪克西特和倫德雷根(DixitandLondregan,1996,1998)關于概率投票模型的著作。
在這一模型中，在民主中的所有行動者的偏好都影響均衡政策；一個團體越傾向于包括搖擺選民，他們的偏好就會越重要。因此，例如，如果富人不像窮人那樣關注意識形態，那麽,在民主中，這就賦予了他們相當大的權力，即使他們在人數上是少數。
其次，均衡政策也許不僅會受投票的影響，而且還會受競選運動的捐款、遊說和特別利益集團行動的影響。在這樣一種情形中，由有組織的特別利益集團代表的或有更多資源可以引導特殊利益集團的團體往往比組織松散、資源更少的團體對政策有更大的影響。
如果富人占有這兩項優勢中的任一項，那麽這就使得他們的偏好能夠影響民主政策。貝克爾(Becker,1983)首先提出了一個依據這些劃分的模型，格羅斯曼和赫爾普曼(Gross-manandHelpman,1996,2001)大大改進並推廣了這一模型。
再次，到目前爲止，政黨在某種意義上已成爲選民的完全的代理人。然而，實際上，在政黨的目標某種程度上是獨立于選民的目標的，政黨提供的政策反映他們自己的目標，而不僅僅是中位選民的意願。
這一點，如魏特曼(Wittman,1983)首先強調的那樣，在選舉結果不確定的時候，或者像阿萊斯納(Alesina,1983)指出的那樣，在政黨不能忠于自己的政策綱領時，是非常正確的。
當這兩種情況中有一種出現時，在對政治結果的影響上，不單單是選民的偏好，政黨的目標也是重要的。在這種情況下，能夠掌握政黨議程的團體對民主政策的影響可能遠遠大于其人數所顯示的程度。
最後，可能也是最引人注目的是，唐斯模型及其許多推廣形式包括概率投票模型，都以對政治制度的空洞描述爲特征。我們在本章介紹的唐斯模型差不多就像一次總統選舉(盡管不是美國的總統，因爲那樣我們必須引進選舉團)。例如，我們沒有區分選區。
如果要用這一模型描述英國議會選舉的結果，我們必須引入這些選區，並對分解的選票份額如何轉化爲議會中的席位份額建立模型。這或許是意義重大的，因爲，如埃奇沃斯在19世紀指出並由肯達爾和斯圖亞特(KendallandStuart,1950)正式分析的那樣，在這種多數主義制度下，小黨往往是代表不足的。
因此，在總的選票份額和議會席位份額之間不存在一對一的關系。制度的許多其他方面也可能很重要。例如，制度影響選民的投票率以及少數群體在立法機構裏得其所願的能力。
這是很耐人尋味的，因爲制度對誰在民主中擁有權力有重要影響。我們考慮一個具體的在政治學文獻中廣受關注的例子：總統制和議會制的區別。如前所述，林茨(Linz,1978,1994)指出總統制往往更易出現政變；普熱沃斯基等人(Przeworskietal.,2000)表述的經濟計量學證據與這一說法是一致的。
直觀的思想是由于總統是由大衆選舉出來的，所以往往代表社會中的中位選民的偏好。另一方面，議會也許不得不調和更多樣化的利益。在這種情況下，如果我們對同一國家在這兩種不同制度下的情況進行比較，我們會預料總統制的結果會更接近民衆偏好的結果。
由這些考慮推動，我們用一個簡單的簡化形式的模型建立民主中不同團體的政治權力的參數。
在本章的附錄中，我們正式地提出了關于建立民主中的政治權力分配模型思想的前三點思想，並說明它們如何能轉化爲此處使用的簡單的簡化形式的模型。
不同的具體模型——不論他們是否強調不同制度的細節、遊說、相對自主的政黨或搖擺選民的存在—-爲我們的簡化形式提供了可供選擇的微觀基礎。自然，這些細節也耐人尋味，也許在具體的例子中還很重要；我們在後面還會討論這一點。
現在讓我們回到我們基本的、有惟一的政策工具——所得稅稅率t的兩階級模型，在民衆占多數(也就是說，1—t>1/2)的情況下，唐斯的政治競爭簡單地使民衆的間接效用VP(t)最大化。在這一模型中，權貴的偏好與稅率決定無關。然而，更普遍地說，權貴會有些權力，均衡政策會反映這一點。
說明這一思想法最簡單的辦法就是把均衡政策看作使權貴和民衆的間接效用的加權和最大化的政策，其中，權數決定著均衡政策在多大程度上反映著不同團體的偏好。我們把一個團體的權數稱作該團體的“政治權力”。設權貴和民衆的權數分別爲x和1-x。于是，均衡稅率將是使下式取最大值的稅率：
其一階條件(考慮互補松弛性)爲：
由此可得：
(4.16)
其中，我們定義t(x)爲當政治權力參數爲x時的均衡稅率。
比較(4.16)式和(4.11)式對我們是有啓發的，這兩個等式決定了有唐斯政治競爭的兩階級模型的均衡政策。顯然，唐斯的結果是當前模型在x=0的時候的一種特殊情形，在這種情形下，(4.16)式變得和(4.11)式完全相同，所以τ(x=0)=t.然而，對于x>0的所有值來說，權貴的偏好均衡政策也是非常重要的，所以t(x>0)
這是很重要的，因爲到目前爲止，我們強調民主産生比非民主更親民衆的政策。事實上，如果我們有隨著x→1民主政治形成的稅率趨近于權貴偏愛的稅率，那麽民主與非民主將沒有多少區別。
我們的觀點是，有理由認爲權貴在民主中經常是有力量的，即使他們是少數，所以x>0也許是對現實的一個令人滿意的近似。然而，不論是目前討論的證據還是內省都表明，大多數民主社會都遠非是x=1的情形。結果，民主並不像典型的非民主那樣，一味迎合富人的偏好。
4.6 ---結論 : 在本章，我們提出了關于民主政治的若幹基本模型，也詳細討論了我們用來在本書其余部分描述民主特征的主要模型及其特性。
我們的分析集中于中位選民定理成立，或在政策空間是多維時，均衡政策爲窮人所偏好政策的兩團體模型。因此，我們把注意力集中于中位選民爲窮人且他的偏好決定在民主中會發生什麽的情形上。我們也大量討論了該模型的三個重要的推廣。
首先是一個三階級的模型，其中，中産階級作爲一個與窮人和富人相分離的團體進入。我們會在第八章第一次用到它的時候正式介紹。然後是民主的簡化形式模型，其中，不同團體的“權力”,由民主制度的性質，他們是否爲搖擺選民，是否是有組織的遊說集團等因素決定，能夠發生變化。
在本章附錄(見第六篇)中，我們詳細討論了關于權力參數x的不同的微觀基礎，但在本書余下的部分中，我們僅用這一簡化形式的模型工作，不使用明確引進制度、遊說、政黨俘獲或概率投票的複雜模型。
最後是政治身份不同，且不同于那些純粹以社會經濟階級或收入水平爲基礎的模型，我們分析這一點如何影響社會中的分配沖突。---[責任編輯 ：孫海陽/來源 : 我讀我在 ]
