專研長達10年，論文足足177頁。
華人數學家通過計算機，找到了讓著名歐拉方程失效的「奇點」。
△圖源：Quanta Magazine
歐拉方程，是250年前（1755年）由瑞士數學家歐拉提出，屬於無黏性流體動力學中最重要的基本方程。
它可以說是「鼻祖級」的方程，正如杜克大學數學家Tarek Elgindi的評價：
幾乎所有的非線性流體方程都是從歐拉方程推導出來的。
即便如此，幾百年來仍有許多「未解之謎」讓數學家們困惑不已。
例如原則上，如果你已知流體中每個粒子的位置和速度，歐拉方程應該能夠預測流體將如何一直演化下去。
但數學家們認為，歐拉方程在某個「奇點」上便會開始輸出沒有意義的數值，也就是無法再做精準預測。
而一旦達到這個點，人們就認為歐拉方程失效了，更戲劇化的說法，叫做產生了「爆破」（blow up）。
來自加州理工學院華人數學家Thomas Hou等人所做的研究工作，就是通過計算機對此做出了證明。
馬里蘭大學數學家Tristan Buckmaster在看完這項工作後說：這是一個驚人的結果。此前從來沒有過。
用計算機證明歐拉方程的「爆破」
早在2013年的時候，Thomas Hou和現在就職於香港恒生大學的Guo Luo就提出過一個假設：歐拉方程會導致一個奇點。
為此，他們開發了一種計算機來模擬圓柱體中的流體：
圓柱體內的液體，上半部分是順時針旋轉，而下半部分則是逆時針旋轉。
這兩股相反方向的水流在運動的過程中，產生了其它複雜的情況——出現上下循環的水流。
而在它們相遇的地方，流體的渦度（描述流體旋轉情況的流體力學概念）以極快的速度增長，似乎隨時就要「爆破」。
但他們當時的研究只能說對於「奇點存在」是具備啟示性，並沒有真正意義的證據。
這是因為計算機不可能計算出無窮大的值，它可以算出的是非常接近奇點的近似值，但並非是精準的那種。
事實上，當用更強大的計算方法探測時，明顯的奇點卻已經消失了。
也正因如此，普林斯頓大學數學家Charlie Fefferman評價過去人們對這件事的研究為：
問題非常的微妙，以至於到處都是模擬研究的「殘骸」。
但Thomas Hou等人卻不為所動，堅持「死磕」這一難題。
終於在9年後，他和他之前的研究生Jiajie Chen成功證明了附近奇點的存在。
他們先是仔細分析了2013年的研究，發現那個近似解似乎有一個特殊的結構：
隨着時間的推移，這些方程的解會呈現出一種所謂的「自相似模式」（self-similar pattern），它的形狀後來看起來很像它的早期形狀，只是以一種特定的方式重新縮放。
因此，二人認為不需要去研究奇點的本身，相反，可以關注更早的時間點來間接對它做研究。
具體而言，就是通過正確的速率放大解的這部分（是由解的自相似結構決定的），可以模擬之後會發生什麼。
為此，他們花費了好幾年的時間才找到了與2013年「爆破」情況類似的自我模擬方案。
然後二人需要做的工作，就是證明奇點附近存在一個精確的解。
從數學層面上來說，就是要證明他們找到的那個解是穩定的，即便對它進行擾動，結果也能在近似解周圍小鄰域的範圍內。
但在這個過程中，Thomas Hou發現，他們不得不再藉助計算機的力量，因為有太多的精度要確定，計算量簡直大到驚人的程度。
但也正如剛才我們提到的，計算機是無法計算無窮大的值，微小的錯誤可以說是在所難免，因此他們也要小心地跟蹤這些錯誤，以免影響到其它結果。
最終，在「人機結合」的方式之下，Thomas Hou和Jiajie Chen最終找到了所有項的邊界，並完成了證明——
歐拉方程確實會產生一個奇點。
而這次的證明過程，讓Thomas Hou感受頗深：現在的數學工作不再是靠紙和筆，計算機是一種更強大的武器。
對此，Fefferman也補充道：在我看來，如果不大量使用計算機輔助證明，就好像把（數學家）的雙手綁在背後一樣。
作者介紹: 這項研究的作者之一是Thomas Hou，加州理工學院計算與數學科學教授，專攻數值分析和數學分析相關工作。
他本科就讀於華南理工大學，於1982年獲得學士學位；他的博士生涯是在加州大學洛杉磯分校完成。
1989年到1993年期間，他在紐約大學庫朗數學科學研究所任教。
自1993年至今，他便一直在加州理工學院任教。
研究的另一位作者是Jiajie Chen，目前是紐約大學的數學科學家。
他在研究生期間就證明了各種流體方程式可以「爆破」。-[金磊發自:凹非寺*量子位:公眾號QbitAI/來源:量子位]
論文地址：https://arxiv.org/abs/2210.07191
[1]https://www.quantamagazine.org/computer-helps-prove-long-sought-fluid-equation-singularity-20221116/
[2]https://en.wikipedia.org/wiki/Thomas_Hou
